The Calculus of Happiness

경제적 자유, 그리고 충분함의 산수

Oscar Fernandez의 『The Calculus of Happiness』는 삶을 세 함수로 읽습니다. 노동으로 쌓는 선형, 복리로 불어나는 지수, 그리고 행복이 자산에 기대는 정도를 그리는 로그. 이 셋을 슬라이더 하나로 만져보는 계산기입니다. 숫자는 목표가 아니라 질문입니다 — 나에게 충분함은 어디쯤인가.

사실 — 지금 내 형편

현재 자산과 지출, 저축처럼 지금 내가 아는 값입니다.

현재 순자산억

월 지출만원

월 저축만원

가정 — 내가 고르는 미래 전제

이 둘은 사실이 아니라 미래에 대한 가정이고, 포트폴리오 성과라는 같은 뿌리에서 나온 형제입니다. 기대 수익률은 모으는 동안의 속도라서 자산이 목표까지 얼마나 빨리 불어나는지를 정하고, 안전 인출률은 다 모은 뒤의 한도라서 매년 얼마씩 빼도 마르지 않는지, 그래서 목표 자산을 얼마로 잡을지를 정합니다. 위험이 없다면 둘은 하나로 포개지지만, 은퇴 직후의 폭락이 회복을 막는 시퀀스 리스크 때문에 인출률을 수익률보다 보수적으로 잡습니다.

기대 실질 수익률%

안전 인출률%

경제적 자유까지

14.5년

FIRE 목표 자산

9억

연지출의 25배 (인출률 4%)

현재 2억22%

저축률

40%

저축 ÷ 지출

0.67

STE — 책의 핵심 지표

자산 2배까지

14.4년

72의 법칙

연 저축

2,400만

복리가 노동을 추월하는 지점

점선은 노동만으로 모은 저축, 굵은 선은 복리가 붙은 자산입니다. 둘이 벌어지기 시작하는 곳이 돈이 돈을 벌기 시작하는 순간이고, 굵은 선이 목표선을 뚫는 지점이 바로 FIRE입니다. 슬라이더를 움직이면 그 지점이 앞뒤로 옮겨갑니다.

복리 자산 (지수)노동 저축 (선형)곡선에 손을 올려보세요

행복은 로그를 그리며 자란다

자산이 늘수록 행복은 로그 곡선을 그립니다. 처음엔 가파르게 오르다가 이내 평평해지죠. FIRE 목표는 이미 그 평평한 구간의 초입입니다. 그래서 이 숫자는 은퇴 목표가 아니라 충분함의 문턱에 가깝습니다. 곡선에 손을 올려, 다음 1억이 더하는 행복이 얼마나 빠르게 작아지는지 보세요.

FIRE 목표현재 자산오른쪽 옅은 구간이 “체감 구간”

계산의 속을 열어보면

위의 숫자와 곡선이 어떤 식에서 나왔는지, 한 계단씩 펼쳐 보았습니다. 슬라이더를 움직이면 식 속 값이 함께 흐르고, 기호에 손을 올리면 식과 풀이 곳곳의 같은 기호가 함께 밝아집니다.

기호 — 이 여섯 개로 모든 식이 짜입니다

B현재 순자산2억

S연 저축2,400만

E연 지출3,600만

r실질 수익률5.0%

FFIRE 목표 자산9억

t경제적 자유까지14.5년

복잡해 보이는 FIRE 공식도 네 계단으로 나눠 오르면, 결국 거리 ÷ 속도 = 시간이라는 초등학교 산수로 내려앉습니다. 한 계단씩 따라가 볼까요.

얼마면 충분한가 — 목표를 세운다

F = \frac{E}{4%} = E \times 25

지금 값으로 3,600만 × 25 = 9억

직관한 해 쓰는 돈(E)을 인출률 4%로 나누면, 해마다 그만큼만 꺼내 써도 원금이 줄지 않습니다. 4%로 나누는 건 25을 곱하는 것과 같죠(25 = 1 ÷ 4%). 그래서 목표 자산 F는 1년 생활비의 25배 — 마르지 않는 곳간의 크기입니다. 인출률을 낮출수록 더 보수적이고, 곳간은 그만큼 커집니다.

돈이 불어나는 두 개의 엔진

엔진 ① 가진 씨앗이 자란다

B (1 + r)^{t}

엔진 ② 해마다 새 씨앗을 심는다

S \cdot \frac{( 1 + r ) ^{t} - 1}{r}

둘을 더하면 — t년 뒤 내 자산

w (t) = B (1 + r)^{t} + S \cdot \frac{( 1 + r ) ^{t} - 1}{r}

직관첫째 항은 이미 가진 돈(B)이 복리로 자라는 몫, 둘째 항은 매년 붓는 저축(S)이 쌓이며 그것도 복리를 타는 몫입니다. 둘 다 시간을 지수로 먹습니다 — 이게 위 성장 곡선의 굵은 선입니다.

목표선과 만나는 순간을 찾는다

B (1 + r)^{t} + S \cdot \frac{( 1 + r ) ^{t} - 1}{r} = F

직관불어나는 자산이 목표 F와 같아지는 그 순간의 t, 그게 답입니다. 위 성장 곡선이 목표선을 뚫는 바로 그 교차점이죠. 이제 이 식을 t에 대해 풀기만 하면 됩니다.

풀어내기 — 지수를 여는 로그

같은 항끼리 묶으면

(1 + r)^{t} = \frac{F + S / r}{B + S / r}

양변에 로그(ln)를 씌워 지수에 갇힌 t를 꺼내면

t = \frac{ln ( \frac{F + S / r}{B + S / r} )}{ln ( 1 + r )}

지금 값으로 14.5년

ln (\frac{F + S / r}{B + S / r})

가야 할 거리

출발 자산 → 목표 자산

ln (1 + r)

한 해 속도

1년 복리 한 걸음

걸리는 햇수

거리 ÷ 속도

직관로그자로 재면 분자는 가야 할 거리, 분모는 한 해에 가는 속도입니다. 거리를 속도로 나누면 시간 — 그래서 t년이죠. 수익률 r가 커지면 한 걸음( 분모)이 커져 시간이 확 줄어듭니다. 수익률 한 끗이 햇수를 크게 당기는 이유입니다. (S/r는 저축이 앞으로 만들 부를 미리 한 덩어리로 접어 출발선에 더해둔 흔적입니다.)

만약 수익률이 0이라면 복리가 없으니 로그도 사라지고, 식은 그냥 $t = \frac{F - B}{S}$ — “남은 거리 ÷ 한 해 저축”이라는 본래의 산수로 돌아갑니다.

세 함수가 그리는 그림

위의 두 그래프와 이 페이지 전체는, 사실 이 세 식이 그리는 모양입니다. 책 제목 그대로 — 선형, 지수, 로그.

지수복리 자산

w (t) = B (1 + r)^{t} + S \cdot \frac{( 1 + r ) ^{t} - 1}{r}

선형노동 저축

w (t) = B + S \cdot t

로그행복(효용)

u (w) = ln (1 + \frac{w}{E})

직관지수는 복리가 돈을 불리는 속도, 선형은 노동만으로 모으는 길, 로그는 그 돈이 행복에 더하는 몫이 점점 작아지는 모양입니다. 앞의 두 곡선이 만나고 갈라지는 이야기가 모두 이 세 함수 안에 있습니다.